ВизиЯ Наука и технологии Лагранжиан и теоретическая механика. Просто о сложном - ВизиЯ инфо

Что такое лагранжиан?

В теоретической механике есть несколько представлений или интерпретаций. Кроме привычного ньютоновского представления (с использованием понятия сила) есть еще и другие в первую очередь лагранжево и гамильтоново. представления.

Жозеф-Луи Лагранж

Представления разумеется математически можно преобразовывать друг в друга. Конечная цель любого представления - найти уравнение движения тела - в классической механике это просто траектория.

Лагранжиан это функция которая в простейшем случае показывает разность между потенциальной и кинетической энергией в каждой точке траектории. Поскольку речь о непрерывной функции то берется интеграл и получаем физическую величину именуемую действием.

Так вот оказывается природа устроена так что тело движется по траектории где действие минимально (принцип наименьшего действия). Поэтому брошенное тело летит по параболе а не летит прямо потом поворачивает вниз на 90 градусом. и реки текут не тупо по прямой а делают витиеватое русло.

Чтобы найти траекторию нужно взять лагранжиан подставить его в уравнение Эйлера-Лагранжа и решить его. Зачем такие сложности - дело в том что законы Ньютона не работают например в релятивистском случае или в квантовой механике. В некоторых случаях (например уравнение Шредингера) используется гамильтониан где не разница а сумма кинетической и потенциальной энергии то есть полная энергия.

Даже в классической механике часто задача решается проще через лагранжиан - например задача движения маятника подвешенного на другом маятнике. Можно конечно решить и механикой ньютона но это намного сложнее. Единственная проблема в сложных случаях - найти лагранжиан. иногда его приходится просто угадывать - типа как Шредингер угадал свое уравнение.

Зачем это все? В физике теория считается законченной если для нее записан лагранжиан. Это может быть лагранжиан тела, жидкости, элементарной частицы, поля - неважно.

Возьмем электрон в электронной лучевой трубке. в однородном поле можно было бы использовать формулу Лоренца. Но в ЭЛТ сложное поле а в уравнениях Максвелла никакие силы (чтобы использовать ньютоновскую механику) не фигурируют. Значит переходим к электрическому и магнитному потенциалам. а раз есть потенциальное поле (а заряд электрона известен) получаем потенциальную энергию. масса и скорость вылетевшего с катода электрона тоже известны а значит и кинетическая энергия. получили лагранжиан а следом и траекторию.

А как быть с релятивистским электроном? или электроном в атоме где надо описать и распределение электронов по орбиталям (а значит учесть спин). В результате получим довольно сложную формулу по сути лагранжиан электродинамики. А еще для полного лагранжиана надо учесть что электрон участвует в слабом взаимодействии.

Так вот если взять все частицы стандартной модели и сложить их лагранжианы с учетом всех взаимодействий в котором они участвуют (кроме гравитационного которое пока не проквантовано) получим лагранжиан квантовой механики.

Хотя и неполный - например еще есть проблема конфаймента. Вот и получим формулу на полстраницы с потенциалами, тензорами, матрицами и прочими ништяками. Разумеется правильность лагранжиана подтверждается экспериментально как и любая теория в физике..