ВизиЯ Наука и технологии В мире существует множество систем счисления, но мы выбираем простейшую

Бесконечность систем счисления

Рациональные числа - это наиболее знакомые нам числа: 1, -5, ½ и все остальные значения, которые можно записать в виде отношения положительных или отрицательных целых чисел. Но с ними все равно бывает трудно работать.

Альтернативные системы счисления

Проблема в том, что они содержат дыры, или пробелы. Если вы увеличите последовательность рациональных чисел, вы можете приблизиться к числу, которое само по себе не является рациональным. Это обстоятельство замыкает многие основные математические инструменты, например, большую часть счисления.

Математики обычно решают эту проблему, выстраивая рациональные числа в линию и заполняя пробелы иррациональными числами, чтобы создать полную систему чисел, которую мы называем действительными числами.

Но есть и другие способы упорядочить рациональные числа и заполнить пробелы: p-адические числа. Они представляют собой бесконечную коллекцию альтернативных систем счисления, каждая из которых связана с уникальным простым числом: 2-адики, 3-адики, 5-адики и так далее.

Р-адики могут показаться глубоко чуждыми. В 3-адике, например, 82 гораздо ближе к 1, чем к 81. Но эта странность в значительной степени поверхностна: На структурном уровне р-адики следуют всем правилам, которые математики хотят видеть в хорошо управляемой системе счисления.

Разработанные более века назад, p-адические числа стали важным инструментом для изучения вопросов о рациональных числах, которые возникли тысячелетия назад.

Построение башни

В основе p-адических чисел лежит модульная арифметика - метод счета, который, подобно часам, зацикливается на самом себе. Так же, как 13.00 на 24-часовых часах равно часу дня, 13 "по модулю 12" равно 1.

Чтобы увидеть, как p-адические системы счисления возникают из модульной арифметики, начните с классификации всех целых чисел по модулю определенного простого числа. Классификация целых чисел по модулю 3, например, сортирует их на три сегмента, или комнаты.

Рисунок 1

Можно также классифицировать целые числа по модулю больших степеней 3: по модулю 9 (32) или по модулю 27 (33).

Рисунок 2

Рисунок 3

Математики сортируют целые числа по модулю степени 3, чтобы обнаружить особенности их простых факторизаций:

Целые числа, эквивалентные 0 по модулю 3, находятся в одной комнате и имеют по крайней мере одну цифру 3 в своих простых факторизациях; целые числа, эквивалентные 0 по модулю 9, 2; целые числа, эквивалентные 0 по модулю 27 - 3.

Теперь представьте, что целые числа по модулю 3, 9 и 27 сложены, как башня. Каждый уровень башни является точным трехкратным покрытием уровня, расположенного под ним. Эта схема продолжается бесконечно, создавая элегантное расположение целых чисел по модулю все более высоких степеней числа 3.

Рисунок 4

Рисунок 5

Каждое p-адическое целое число определяется путем прохождения бесконечного пути вверх по башне. Вид на эту башню с высоты птичьего полета дает представление обо всех целых p-адических числах.

Одним из самых больших достижений в математике 21 века является объект под названием "перфектоидное пространство", который воплощает эту перспективу. Он был разработан Петером Шольце из Боннского университета, который в 2018 году получил медаль Филдса отчасти за эту работу. Это лишь один из примеров того, как математики используют эти бесконечно слоистые башни.

Инопланетная арифметика

Математики пишут p-адические числа, основываясь на частоте появления каждой силы p в расширении числа по "основанию p". Например, так записывается число 11 в 3-адиках:

Рисунок 6

Размер p-адического числа определяется преобладанием p в его простой факторизации. Числа с большим числом p меньше. Например, в 3-адике 486 - "маленькое" число, потому что в его простой факторизации много троек (486 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3).

В p-адике целые числа располагаются ближе друг к другу, когда они делят комнату на более высоких уровнях башни. Числа 0 и 486 имеют общую комнату до пятого уровня, тогда как 0 и 6 имеют общую комнату только на первом уровне - это указывает на то, что 0 ближе к 486, чем к 6 (и, следовательно, 486 меньше 6).

В p-адических башнях дробные числа учитываются путем расширения башни под землей. Числа с большими степенями p в числителях - маленькие, а числа с большими степенями p в знаменателях - большие.

В арифметике тоже все по-другому. Возьмем, к примеру, сумму 486 + 486 = 972. В вещественных числах 972 намного больше, чем 486. Но в 3-адике 972 имеет тот же размер, что и 486, потому что и сумма (972), и слагаемое (486) имеют одинаковое количество троек в простой факторизации.

Р-адики имеют форму, отличную от линии действительных чисел: Они образуют фрактал, состоящий из бесконечно вложенных номеров на "вершине" р-адической башни. Но в этом фрактале есть свои пробелы. Математики заполняют их, формируя "завершение" р-адических рационалов - процедура, аналогичная добавлению иррациональных значений к числовой линии. По крайней мере, в этом смысле принципы, лежащие в основе р-адических чисел и действительных чисел, схожи.

Большое семейство

Бесконечное семейство p-адических систем счисления предоставляет математикам широкий спектр возможностей для изучения вопросов о рациональных числах.

Например, математики хотели бы знать, когда полиномиальные уравнения типа 3x3 + 4y3 + 5z3 = 0 имеют рациональные решения. Обычно это трудный вопрос. Но найти p-адические решения относительно легко.

Одним из инструментов, который математики используют для ответа на этот вопрос, является локально-глобальный принцип, или принцип Хассе, возникший в 1920-х годах. Он предполагает, что если многочлен имеет решение в вещественных числах и во всех p-адических числах, то этот многочлен также имеет решение в рациональных числах. Локально-глобальный принцип верен для некоторых типов многочленов, но не для других.

Предпосылка, лежащая в основе локально-глобального принципа, кажется странной: Чтобы доказать существование решений в рациональных числах, математики ищут решения в бесконечно многих других системах счисления - вещественных и всех p-адических.

Необходимость работать подобным образом подчеркивает масштаб проблем, создаваемых дырами в рациональных числах: чтобы обойти их, нужно пересечь всю Вселенную. В то же время, это говорит о том, что в космосе, где бесконечно много систем счисления, было бы почти странно ограничиваться той, которая просто оказалась ближе всего к дому.